Funções e Relações

Gancho: "Uma função é uma máquina: coloque algo, obtenha algo. É uma das ideias mais poderosas da matemática."

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A Máquina da Matemática

O conceito de função se desenvolveu gradualmente. Leibniz (1694) usou o termo pela primeira vez. Euler (1748) a definiu como uma expressão analítica. Dirichlet (1837) deu a definição moderna: uma função atribui cada entrada exatamente uma saída.

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Objetivos de Aprendizagem

Ao final desta lição, você será capaz de:

• Compreender funções e relações
• Representar funções de diferentes maneiras
• Analisar funções lineares e quadráticas
• Aplicar funções a situações reais

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1. O que é uma Função?

Definição e Notação

Uma função é uma regra que associa cada elemento de um conjunto (domínio) a exatamente um elemento de outro conjunto (contradomínio).

Notação: f: A → B ou y = f(x)

Exemplo: f(x) = 2x + 3

• f(1) = 5
• f(2) = 7
• f(0) = 3

Domínio e Contradomínio

Domínio: Conjunto de todas as entradas possíveis Contradomínio: Conjunto de todas as saídas possíveis Imagem: Conjunto de saídas realmente atingidas

$$f(x) = \sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad \text{Domínio: } x \geq 0$$

Função vs. Relação

Relação: Pode associar uma entrada a múltiplas saídas Função: Cada entrada tem exatamente uma saída

Exemplo: x² + y² = 1 é uma relação (não função), pois para x = 0, y pode ser 1 ou -1.

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2. Representando Funções

Tabelas

Gráficos

Pontos plotados em um plano cartesiano conectados formam o gráfico da função.

Equações

Lineares: f(x) = mx + b Quadráticas: f(x) = ax² + bx + c Exponenciais: f(x) = a · bˣ

Descrições Verbais

"O dobro de um número mais três" "A área de um quadrado de lado x"

Diagramas de Correspondência

Setas conectando elementos do domínio aos elementos da imagem.

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3. Tipos de Funções

Funções Lineares

Forma: f(x) = mx + b

• m = inclinação (slope)
• b = interceptação vertical (y-intercept)

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Exemplo: f(x) = 2x + 3

• Inclinação: 2 (sobe 2 para cada 1 à direita)
• Interceptação: 3 (cruza o eixo y em 3)

Funções Quadráticas

Forma: f(x) = ax² + bx + c

Gráfico: Parábola

• Se a > 0: abre para cima
• Se a < 0: abre para baixo

Vértice: ponto (-b/2a, f(-b/2a))

$$x_v = -\frac{b}{2a}$$

Funções Exponenciais

Forma: f(x) = a · bˣ

• b > 1: crescimento exponencial
• 0 < b < 1: decaimento exponencial

Exemplo: f(x) = 2ˣ

• f(0) = 1
• f(1) = 2
• f(2) = 4
• f(3) = 8

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4. Exercícios Interativos

Máquina de Funções

Explorador de Gráficos

Funções do Mundo Real

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Aplicação no Mundo Real

Economia, Ciência e Engenharia

Economia:

• Custo total = Custo fixo + Custo variável × unidades
• Receita = Preço × Quantidade
• Lucro = Receita - Custo

Ciência:

• Posição: s(t) = s₀ + v₀t + ½at²
• Crescimento bacteriano: N(t) = N₀ · 2^(t/T)

Engenharia:

• Circuitos elétricos: V = IR
• Resistência de materiais

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5. Exemplos Resolvidos Detalhados

Inclinação a partir de Dois Pontos

Exemplo 1: Encontre a inclinação da reta que passa pelos pontos (2, 5) e (6, 13).

Solução passo a passo:

Passo 1: Identificar as coordenadas.

$x_1 = 2, \quad y_1 = 5, \quad x_2 = 6, \quad y_2 = 13$

Passo 2: Aplicar a fórmula da inclinação.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{13 - 5}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$

Passo 3: Interpretar. A inclinação é 2, ou seja, para cada 1 unidade à direita, o gráfico sobe 2 unidades.

Equação da reta: Usando o ponto-slope com (2, 5):

$y - 5 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x + 1$

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Exemplo 2: Encontre a inclinação entre (-1, 7) e (3, -1).

Solução passo a passo:

$m = \frac{-1 - 7}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$

A inclinação negativa indica que a reta desce da esquerda para a direita.

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Exemplo 3: Os pontos (4, a) e (-2, 10) estão na mesma reta de inclinação -3. Encontre a.

$-3 = \frac{10 - a}{-2 - 4} = \frac{10 - a}{-6}$

$-3 \times (-6) = 10 - a \Rightarrow 18 = 10 - a \Rightarrow a = -8$

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Aplicação da Fórmula do Vértice

Exemplo 1: Encontre o vértice de f(x) = 2x² - 8x + 5.

Solução passo a passo:

Passo 1: Identificar a = 2, b = -8, c = 5.

Passo 2: Calcular a coordenada x do vértice.

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$

Passo 3: Calcular a coordenada y do vértice substituindo x = 2.

$y_v = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$

Passo 4: Escrever o vértice.

$\text{Vértice: } (2, -3)$

Passo 5: Determinar a direção da parábola. Como a = 2 > 0, a parábola abre para cima, e o vértice é o ponto mínimo.

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Exemplo 2: Encontre o vértice de f(x) = -x² + 6x - 2.

Solução passo a passo:

$x_v = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$

$y_v = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 2 = -9 + 18 - 2 = 7$

$\text{Vértice: } (3, 7)$

Como a = -1 < 0, a parábola abre para baixo, e o vértice é o ponto máximo.

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Exemplo 3: Um foguete segue h(t) = -5t² + 30t + 1. Qual é a altura máxima e quando ocorre?

$t_{\text{máx}} = -\frac{30}{2(-5)} = 3 \text{ s}$

$h(3) = -5(9) + 30(3) + 1 = -45 + 90 + 1 = 46 \text{ m}$

Resposta: Altura máxima de 46 m aos 3 segundos.

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Determinação de Domínio e Contradomínio

Exemplo 1: f(x) = √(x - 3)

Análise:

O radicando deve ser não-negativo: x - 3 ≥ 0, ou seja, x ≥ 3.

$\text{Domínio: } [3, +\infty)$ $\text{Imagem: } [0, +\infty)$

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Exemplo 2: f(x) = 1/(x² - 4)

Análise:

O denominador não pode ser zero: x² - 4 ≠ 0, ou seja, x ≠ ±2.

$\text{Domínio: } \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$ $\text{Imagem: } (-\infty, -1/4] \cup (0, +\infty)$

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Exemplo 3: f(x) = ln(x + 5)

Análise:

O argumento do logaritmo deve ser positivo: x + 5 > 0, ou seja, x > -5.

$\text{Domínio: } (-5, +\infty)$ $\text{Imagem: } \mathbb{R}$

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Exemplo 4: f(x) = |2x - 1| + 3

Análise:

O valor absoluto aceita qualquer número real. Porém, |2x - 1| ≥ 0, então f(x) ≥ 3.

$\text{Domínio: } \mathbb{R}$ $\text{Imagem: } [3, +\infty)$

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Erros Comuns em Funções

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Exercício Interativo: Tipos de Funções

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Aplicações no Mundo Real: Estudos de Caso

Caso 1: Custo e Receita de uma Empresa

Uma fábrica tem custo fixo de R$ 5.000 e custo variável de R$ 20 por unidade produzida. O preço de venda é R$ 50 por unidade.

$C(x) = 5.000 + 20x \quad \text{(custo total)}$ $R(x) = 50x \quad \text{(receita total)}$ $L(x) = R(x) - C(x) = 30x - 5.000 \quad \text{(lucro)}$

Para lucro zero (ponto de equilíbrio): 30x = 5.000 → x ≈ 167 unidades.

Caso 2: Lançamento de Projéteis

Uma bola é lançada de 1,5 m com velocidade inicial de 20 m/s:

$h(t) = -4,9t^2 + 20t + 1,5$

Altura máxima em t = 20/9,8 ≈ 2,04 s, com h ≈ 21,9 m.

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Perguntas de Prática (Practice Questions)

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• Uma função atribui cada entrada exatamente uma saída
• Funções podem ser representadas por tabelas, gráficos, equações ou descrições
• Funções lineares têm gráfico de linha reta
• Funções quadráticas têm gráfico de parábola
• Funções exponenciais modelam crescimento e decaimento
• As funções são ferramentas essenciais para modelar o mundo real